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Boolean sum function

来源:未知 编辑:admin 时间:2019-07-24

  布尔对微分方程和概率论等数学分支颇有研究,但他的主要贡献是在逻辑方面,创立了逻辑代数。布尔在年轻时曾设想代数公式可用以表达逻辑关系。为此,他以实事求是的科学态度从事研究,力图构造一种思维演算。他的指导思想是:逻辑关系与某些数学运算甚为相似,代数系统可以有不同解释,把解释推广到逻辑领域,就可以构成一种思维演算。根据这种思想,他构成了一种被现代数学或现代逻辑称为布尔代数或逻辑代数的抽象代数系统。他给出的一种解释是类演算。他用字母 x、y、z表示事物的类;1表示类演算的论域,亦称全类;0表示空类,即没有分子的类;xy表示由x和y的共同分子组成的类,称为两类的交即逻辑乘法;x+y表示 x和y合成的类,称为两类的并即逻辑加法。为了保存减法,布尔当时要求 x和y必须没有共同分子。他以1-x表示论域中一切不属于x的分子的类,称为补类。根据这种解释,类演算中有些规律与数量代数的规律是相同的,如乘法交换律xy,yx;有些规律是类演算特有的,如xx=x

  =x。布尔提出用类演算的公式可以表达古典形式逻辑中的直言命题和三段论推理(见三段论)。他还为其代数作命题演算的解释。他用 x、y、z表示命题的线表示线表示假;xy表示 x与y的合取,即x并且y;x+y表示不相容的析取,即x或y,但不同线-y表示y的否定。根据这种解释,x为线,如x线,x线。布尔提出的类演算和命题演算的区别在于,在类演算中,x、y、z等可以取任一类(包括 0和1)为值;而在命题演算中,x、y、z等只能取 0或1两个值。因此,命题演算的系统可以看作二值代数系统。

  布尔当时所提出的演算还很不成熟。例如,演算的许多公式没有逻辑解释,逻辑加法要求两类不相交,用一个不确定的类表示特称命题,等等。尽管有这些缺点,布尔的贡献还是伟大的,他在逻辑史上首先提出了一个逻辑演算,成为继G.W.莱布尼茨之后的数理逻辑的又一个创始人。以他命名的布尔代数现已发展为结构极为丰富的代数理论,并且无论在理论方面还是在实际应用方面都显示出它的重要价值。

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